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常用的积分公式都有哪些呢(常用的积分公式都有哪些呢)

作者：教育资讯网 2024-05-05 04:41:30 467

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事实上，所有的不定积分都可以看作积分公式。当然，我们通常只关注简单的，而记不住太复杂的。常用的积分公式是指与六个基本函数相关的一些不定积分。

常用的积分公式都有哪些呢(常用的积分公式都有哪些呢)

第一个是常数函数的积分公式。包括：

(1)0dx=C;(2)1dx=x+C;(3)adx=ax+C.a是任意常数。

虽然被积函数都是常数，但0的原函数是任意常数，而0以外的常数的原函数是线性函数。

然后是幂函数：

(3)x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C(a-1,x0).

您可以对右侧求导，然后得到被积函数。导数和不定积分可以被视为互逆过程。x之所以大于0，是为了防止偶数中出现负数，或者分母为0，使被积数没有意义。当a=-1时，是另一种不定积分，是与对数函数有关的不定积分。

(4)1/xdx=ln|x|+C(x0);(5)1/(xlna)dx=log_a|x|+C(a0,a1;x0);

需要注意的是，当x0时，不需要添加绝对值符号。否则必须加上绝对值符号，这一点很容易被很多人忽视。

还有指数函数的不定积分公式：

(6)e^xdx=e^x+C;(7)a^xdx=a^x/lna+C(a0,a1).

与三角函数相关的不定积分公式有很多。这里我只分享一些比较简单的。注意，无论是与三角函数相关的不定积分，还是与反三角函数相关的积分，它们一般都是成对出现的，并且两个积分之间总是存在着某种交错对称的关系。注意观察，结合起来就很容易记住。

与三角函数有关的常用积分公式：

(1)cosaxdx=1/a*sinax+C;sinaxdx=-1/a*cosax+C(a0);

当a=1时，有cosxdx=sinx+C；sinxdx=-cosx+C；

事实上，所有积分公式中，x都可以用中间变量u=ax代替，结果在原函数前面乘以1/a。

(2)(secx)^2dx=tanx+C;(cscx)^2dx=-cotx+C;

(3)secx·tanxdx=secx+C;cscx·tanxdx=-cscx+C;

(4)(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C;(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;

(5)dx/(1sinx)=tanxsecx+C;dx/(1cosx)=-cotxcscx+C;

(6)dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;

请注意，求不定积分的方法有很多种，并且使用不同的方法可能会得到不同的形式，所以不要一看到不同的形式就认为结果是错误的。

(7)tanxdx=-ln|cosx|+C;cotxdx=ln|sinx|+C;

(8)(tanx)^2dx=-x+tanx+C;(cotx)^2dx=-x-cotx+C;

(9)dx/(1tanx)=1/2*(xln|cosxsinx|)+C;

dx/(1cotx)=1/2*(xln|sinxcosx|)+C;

(10)dx/(1secx)=x+cotxcscx+C;dx/(1cscx)=x-tanxsecx+C.

(11)xsinxdx=sinx-xcosx+C;xcosxdx=cosx+xsinx+C.

最后还有几个与反三角函数相关的积分公式：

(1)dx/(1+x^2)=arctanx+C=-arccotx+C;

(2)dx/(1-x^2)=arcsinx+C=-arccosx+C;

(3)arcsinxdx=xarcsinx+(1-x^2)+C;

arccosxdx=xarccosx-(1-x^2)+C;

(4)arctanx=xarctanx-1/2*ln(1+x^2)+C；

(5)arccotx=xarccotx+1/2*ln(1+x^2)+C.

当然，很少有人能同时记住这么多公式。因此，我们需要有记忆能力。比如最后的反三角函数的原函数就是x和它本身的乘积，加上或减去它们的导数的分母部分，再加上C。有时候，我们不得不利用后面要学的知识自己去推导这些公式。

最合理的方式就是收集起来，先记住最简单的，以后需要的时候再参考，这样可以为以后解决问题节省很多时间。

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