利用导数解决生活中的优化问题步骤(利用导数解决优化问题的基本思路)

微积分是许多人最熟悉的数学之一。作为高等数学的重要组成部分，它不仅影响着数学的发展，也影响着其他学科领域的发展。因此，如何学好微积分是很多人非常关心的问题。的话题.

如果一个人想学好微积分，那么他/她首先必须学好导数。导数是微分学的主要组成部分，是微积分的核心内容。

衍生品在现实生活中有着广泛的应用。利用导数，我们可以找到现实生活中的一些最优值（最大值和最小值），例如利润最大化、生产效率最大化、材料使用最少、燃料消耗最小等。等等问题，我们一般将这些最优值问题的解称为最佳解或最佳策略，俗称优化问题。

利用衍生相关的知识来解决现实生活中的最优问题，让我们的生活变得最好，才是真正解决我们现实生活中的问题。

导数的概念导数是微积分中一个重要的基本概念。当自变量的增量趋近于零时，因变量的增量与自变量的增量的商的极限就是导数。

利用导数解决生活中的优化问题一般可以分为以下三个步骤：

1、分析实际问题中各量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系y=f(x)；

2、求函数的导函数f(x)，求解方程f(x)=0；

3.比较区间终点和f(x)=0点处函数值的大小。最大（最小）值就是最大（最小）值。

典型实例分析1：

某物流公司购买了一块长方形地块AMPN，长AM=30米，宽AN=20米。拟建仓库，占地如图所示矩形ABCD。其余区域为道路和停车场。顶点C需要位于图的另一侧。在角线MN上，顶点B和D分别位于边AM和AN上。假设AB的长度为x米。

（1）保证仓库面积不小于144平方米，求x的取值范围；

（2）拟规划建设的仓库为长方体建筑，其高度与AB的长度相同。当仓库存储能力最大时，AB的长度是多少？（忽略墙壁、地板和地板所占用的空间）

解：（1）根据题，NDC与NAM相似。

所以DC/AM=ND/NA，

即x/30=(20-AD)/20，

因此AD=20-2/3x，

矩形ABCD的面积为20x-2/3x2(0x30)。

仓库面积不得小于144平方米，

那么20x-2/3x2144，

化简得x2-30x+2160，

解为12x18。

(1)由(1)可知仓库体积V=20x2-2/3x3(0x30)，

设V=40x-2x2=0，

得到x=0或x=20。

当0x20时，V0，

当20x30时，V0，

所以当x=20时，V取最大值，最大值为8000/3，

即AB长度为20米时仓库的库存能力最大。

利用导数相关知识解决现实问题的难点在于如何将实际问题涉及的变量转化为函数表达式。这种“转化能力”需要大家在掌握衍生品相关知识的前提下，进行更有针对性的训练，总结解题训练过程，提高衍生品解题技巧和方法。例如，学会根据题目的条件制作图形，分析已知条件之间的关系，利用图形的特点合理选择这些条件之间的联系，选择适当的变化，构造相应的函数关系。

在高中数学的范围内，我们谈论用导数来解决实际问题，通常是解决优化问题。高考作为选拔人才的考试，单从知识面来看，它的范围并不算太窄。高考衍生优化问题将与社会经济生活、生产实践、科学研究等实际问题中的热点问题相结合。

同时，随着社会经济的发展，企业追求利润最大化，全社会的环保意识不断增强。因此，如何在不破坏自然社会环境等的情况下，实现经营利润最大化、生产效率最大化，或者说用最少的力气、用最少的材料、消耗最少等，并寻求相应的最佳方案或最佳策略，就是寻求最好的解决方案或者最好的策略。它已成为社会发展的一件大事。

导数因其知识的“特殊性”而成为解决最优问题的基本方法之一。

典型实例分析2：

某产品成本为6元/件，每件售价为x元（6x11），年销量为u万件。如果已知585/8-u与(x-21/4)成正比，则销售价格为10元时，年销量为28万片。

(1)求年销售利润y与销售价格x之间的函数关系；

(2)求出销售价格为时的最大年利润，求出最大年利润。

解：(1)假设585/8-u和(x-21/4)，

售价10元时，年销量28万件。

585/828=k（x-21/4）,

求解得到k=2。

u-2（x-21/4）585/8

=-2x2+21x+18。

y(-2x2+21x+18)(x-6)

=-2x3+33x2-108x-108(6x11)

(2)y=-6x2+66x-108

=-6(x2-11x+18)

=-6(x-2)(x-9)

令y=0，我们得到x=2（丢弃）或x=9，

显然，当x(6,9)时，y0；

当x(9,11)时，y0。

函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上递增，在(9,11)上递减。

当x=9时，y取最大值，ymax=135，

售价为9元时，年利润最大，年利润最大为135万元。

任何企业或经济单位都需要解决优化问题。企业只有解决优化问题才能获得长远发展。例如，衍生物已广泛应用于医学、天文学、经济、工业、物理、工程和日常生活等许多领域。

当我们在现实生产中遇到很多优化问题时，我们都可以将其归结为求函数的最大值或最小值的问题。当我们利用导数相关知识解决优化问题时，可以从以下四个方面来思考：

1、设定合适的未知量，并确定未知量的取值范围（即函数的定义域）；

2、根据题意，将期望的最优量表示为未知量的函数，即构造子；

3、求函数的导数，将导数设为0，得到导数为0的点；

4、通过单调性确定函数的极大点和最大值，解决实际问题。此类问题的处理有两种常见类型。

典型实例分析3：

某个城市的发展过程中，交通状况逐渐引起相关部门的重视。根据相关统计数据，早上6点至中午12点，车辆通过城市某路段的时间y（分钟）与车辆进入该路段的时间y（分钟）相关。时间t之间的关系可以近似地由以下函数给出：

找出从早上6点到中午12点通过该路段花费最多时间的时间。

解：当6t9时，

y=-3/8t2-3/2t+36

=-3/8(t+12)(t-8)

令y=0，

得到t=-12（丢弃）或t=8。

当6t8时，y0，

当8t9时，y0，

因此，当t=8时，y具有最大值，ymax=18.75。

当9t10时，y=1/8t+59/4为增函数，

因此，当t=10时，ymax=16。

当10t12时，y=-3(t-11)2+18，

因此，当t=11时，ymax=18。

综上可知，通过该路段最耗时的时间是上午8点。

如果我们想要在高考中获得导数相关的分数，那么我们首先要掌握导数的基本概念，这样就可以利用这些知识来解决现实生活中的优化问题。

如果你想掌握导数概念的一些实际背景（如瞬时速度、加速度、平滑曲线的切线斜率等）；

掌握函数在一点的导数的定义以及导数的几何意义；

理解导函数的概念；

记住基本的导数公式；

掌握两个函数的和、差、积、商的求导规则；

了解复合函数的求导规则，能够求一些简单函数的导数；

理解可微函数的单调性与其导数之间的关系；

理解可微函数在某一点取得极值的充要条件（导数在极值点两侧符号不同）；

可以求一些实际问题的最大值和最小值（一般指单峰函数）等。

最后，大家一定要记住，我们在实际问题中使用导数解决优化问题时，一定要认真记住以下几点：

1.在求解实际问题的最优值时，必须注意考虑实际问题的意义。不符合实际意义的值应该被丢弃。

2.在现实生活中的问题中，有时我们会遇到函数在区间内只有一个点的情况。如果函数在该点有一个最大（小）值，我们无需与端点值进行比较就可以知道这是最大值。（小）值。

3、解决实际优化问题时，不仅要把问题涉及的变量关系表示为函数关系表达式，还要确定函数关系表达式中自变量的定义区间。